Einführung: Ermittlung des Grenzverhaltens im Unendlichen von einfachen gebrochen-rationalen Funktionen

Einstieg/Motivation (7 min) - Unterrichtsgespräch, Einzelarbeit

Anwendungsbeispiel – Produktionskosten in Abhängigkeit von der Produktionszahl:

Ein fiktives Szenario wird geschildert und über den Beamer präsentiert (Datei „Folien“, S. 1-2):
„Unsere Schule möchte Schul-Shirts mit einem neu designten Logo organisieren und hat lokale Unternehmen gefunden, die die Produktion übernehmen. Die Kosten hängen allerdings von der Produktionszahl x ab. Die Produktionskosten pro Shirt (in Euro) können näherungsweise durch die Funktion k mit dem Funktionsterm k(x)=(38x+2200)/(4x+2) (x∈R,x>20) beschrieben werden.“
Die Aufgabe der Schüler:innen ist zunächst, die Funktionswerte k(100),k(1000) und k(2000) zu berechnen und im Sachzusammenhang zu interpretieren. Zur Berechnung der Funktionswerte wird die Klasse in drei Blöcke geteilt und jede:r soll selbst je nach Block einen der Werte mit dem Taschenrechner bestimmen. Bei der Betrachtung und Interpretation der Werte fällt auf, dass die Produktionskosten mit steigender Produktionszahl sinken.

Das Szenario wird weitergeführt: „Die neuen Schul-Shirts kommen besser an, als erwartet, sodass die Produktionszahlen ‚durch die Decke schießen‘“.
In diesem Zusammenhang sollen die Lernenden, die Auswirkung von immer weiter steigenden Produktionszahlen auf die Produktionskosten beschreiben. Dabei stellt sich die Frage, wie weit die Produktionskosten absinken werden. Im Unterrichtsgespräch wird erarbeitet, dass ein Absinken der Produktionskosten auf 0 ausgeschlossen ist, da das Material in jedem Fall Kosten verursacht. Deshalb muss es einen Wert geben, an den sich die Kosten bei immer weiter ansteigenden Stückzahlen „annähern“. Gesucht ist der Grenzwert für x→+∞ der Funktion k.

Wird x→+∞ betrachtet, so streben Zähler und Nenner des Funktionsterms gleichzeitig gegen +∞, da sowohl im Zähler als auch im Nenner die Variable x auftritt. An dieser Stelle stehen die Lernenden vor einem Problem, da durch „(+∞)/(+∞)“ kein Wert ermittelt werden kann und sie noch keine Regel kennen, mit der dieser Grenzwert anderweitig bestimmt werden kann.

Mit der Aussicht, dass die Aufgabe nach einer Partnerarbeit und der gemeinsamen Erarbeitung einer allgemeinen Regel zur Grenzwertbestimmung gelöst werden kann, wird das Einstiegsbeispiel auf einen späteren Stundenteil verschoben.

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